Quina diferència hi ha entre l'àlgebra booleana i la lògica i la teoria de conjunts?


Resposta 1:

La lògica és una formulació de regles d’inferència. La part més important de la lògica és la capacitat de prendre informació i deduir-ne una altra. Un bon exemple serien les dues afirmacions: "Quan plou, el sòl es molla" i "Ara plou ara" significa que es pot deduir que el terreny està més humit ara mateix.

Hi ha diverses formes lògiques, i la lògica booleana i la teoria de conjunts en són dos exemples.

La lògica booleana és una implementació de la lògica clàssica, assumint que hi ha 2 valors. Introdueix el concepte de veritat com una cosa que és comparativament més gran que falsa. En altres paraules, si “veritable” és T, i “fals” és F, llavors

TFT \geq F

. A continuació, podem analitzar les afirmacions d’abans:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

Aquesta última afirmació:

pqp \to q

equival a afirmar això

pqp \geq q

, o en referència, q és almenys tan cert com p.

Quan s’uneixen, sabent que les dues coses

pqp \to q

i

pp

, llavors ja ho sabem

qq

.

Introduïm conceptes com:

  • pqp \wedge q
  • que significa "p AND q"
  • pqp \vee q
  • que significa "p o q"
  • ¬p\neg p
  • que significa "NO p"

La teoria de conjunts adopta un enfocament diferent a la veritat. Està interessat en formar part. Qualsevol cosa és membre d’un conjunt, o no ho és.

En aquest sentit, hem establert la inclusió, és a dir

ABA \subseteq B

vol dir que tots els elements d’A s’inclouen a B (però no necessàriament al revés). Indica la direcció contrària:

ABA \supseteq B

vol dir que tots els elements de B s’inclouen a A (però no necessàriament al revés).

Això serveix per a la implicació en aquesta lògica. Si ho sé

A\superseteqBA \superseteq B

i que tots els meus elements ho són

AA

, llavors també ho són tots els meus elements

BB

.

Denotem que un element és membre d’un conjunt dient això

aAa \in A

vol dir que "a és membre del conjunt d'A".

Un exemple serien els humans

AA

també són mortals

BB

. Aleshores, si Sòcrates és un ésser humà (

sAs\in A

), també és mortal (

sB).s\in B).

Així mateix, tenim conceptes com:

  • ABA \cup B
  • és a dir, el conjunt de tots els elements que es troben tant a com a B (intersecció)
  • ABA \cap B
  • és a dir, el conjunt de tots els elements que es troben en A o B o tots dos (unió)
  • Aˉ\bar{A}
  • és a dir, el conjunt de tots els elements que no es troben en A (complement)

Tècnicament àlgebra booleana es denomina tècnicament una gelosia distributiva complementada, cosa que és fantàstica per a qualsevol cosa que tingui:

  • min(A,B)\min(A, B)
  • un valor mínim (tècnicament mínim) entre A i B. Això és “AND” en lògica booleana i la intersecció en teoria de conjunts.
  • max(A,B)\max(A, B)
  • un valor més gran (supremament tècnic) entre A i B. Això és "O" en la lògica booleana i la unió en la teoria de conjunts. Alguna noció de contrari. Això és "NO" en lògica booleana, i complement en la teoria de conjunts.

Per descomptat, aquesta àlgebra requereix que les operacions tinguin determinades propietats per ser anomenades àlgebra booleana.

En aquest sentit, la paraula Àlgebra descriu quelcom que té propietats similars a les addicions i a les de multiplicació. Una àlgebra booleana agafa això i continua amb ella.

Els àlgebres booleans també són Heyting Algebras si ho sabem

¬¬a=a\neg \neg a = a

, perquè tenen una idea d'exponencial que es defineix segons la multiplicació. A la lògica booleana, aquesta és la implicació. En teoria de conjunts, aquesta és la substitució (no estricta).

Vol dir que tenim la següent llei:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

La qual cosa és similar a l'exponencialització:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


Resposta 2:

L’àlgebra booleana és una agrupació de regles sobre coses que poden ser certes o falses (anomenades així pel tipus que la va formalitzar).

La lògica es basa bàsicament en el raonament. Com a camp propi, raonem sobre què es pot raonar i com. Hi ha moltes branques en aquest moment.

La teoria de conjunts quan es frase com aquesta (en contraposició a "una teoria de conjunts", que pot significar moltes coses) se sol entendre com a teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel, juntament amb axiomes potser addicionals. Aquesta és una manera de raonar sobre les col·leccions no ordenades (anomenats conjunts) mitjançant un petit nombre d’axiomes i ampliar-lo per incloure coses com el que es basen diversos tipus de números en aquests axiomes.