Quina diferència hi ha entre un lagrang i un hamiltonià?


Resposta 1:

Suposo que no heu estudiat la mecànica o la mecànica analítica en un quart curs o un graduat. És allà on recollireu els elements rellevants del Càlcul de Variacions per entendre-ho.

 

Els lagrangians i els hamiltonians proporcionen descripcions alternatives d’un sistema físic, però equivalents. Es relacionaven mitjançant una transformació matemàtica anomenada "Transformació de Legendre". Bàsicament, qualsevol problema que es pugui formular mitjançant un lagrangiano es pot transformar en un problema equivalent mitjançant l'hamiltoniana, i viceversa. L’elecció entre l’ús d’un o l’altre es basa en el que es dóna un problema més fàcil de tractar amb matemàtiques.

 

En l’estudi de les matemàtiques de l’optimització, els dos problemes s’anomenarien “duals” els uns dels altres. De fet, tot el tema dels lagrangians i hamiltonians queda més clar quan es tenen clarament en compte les matemàtiques de l’optimització. Tanmateix, la manera en què es presenta sovint la física, l’aspecte d’optimització del problema físic pot venir i anar amb una mena de velocitat “si parpelleix, t’ho perdràs”.


Resposta 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


Resposta 3:

En certa manera, no hi ha una diferència fonamental entre la mecànica newtoniana, la mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana. Tots us proporcionaran solucions equivalents per a l’evolució temporal d’un sistema. Les lagrangianes i les Hiltonianes són transformacions de Legendre les unes de les altres. Essencialment, el lagrangian et permet treballar a l'espai de configuració i l'hamiltoniano et permet treballar en un espai de fase. Quin és el que utilitzeu per a un problema determinat en realitat, només resulta fàcil o més fàcil de solucionar. Per a un sistema amb un espai de configuració de la dimensió n, les equacions de Hamilton són un conjunt d'equacions diferencials de primer ordre acoblades i de 2n mentre que les equacions d'Euler-Lagrange són un conjunt de n equacions diferencials de segon ordre no acoblades.


Resposta 4:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Una forma una mica més tècnica de dir-ho és que "l'operador hamiltonià és el generador de traducció del temps".

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.


Resposta 5:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Una forma una mica més tècnica de dir-ho és que "l'operador hamiltonià és el generador de traducció del temps".

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.


Resposta 6:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Una forma una mica més tècnica de dir-ho és que "l'operador hamiltonià és el generador de traducció del temps".

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.


Resposta 7:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Una forma una mica més tècnica de dir-ho és que "l'operador hamiltonià és el generador de traducció del temps".

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.


Resposta 8:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.


Resposta 9:

En la mecànica quàntica no relativista, l'operador hamiltonià resulta ser el que avança en el temps l'estat del sistema. Per això, teniu l’equació

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

Una forma una mica més tècnica de dir-ho és que "l'operador hamiltonià és el generador de traducció del temps".

D'altra banda, quan passeu a la teoria de camps quàntics, un dels objectius principals és garantir que tot sigui coherent amb la relativitat, és a dir, voldríeu que la teoria sigui explícitament invarianta de Lorentz. Com heu notat, l'hamiltoniana (i, de fet, tot el concepte de l'equació de Schrödinger) no és * explícitament Lorentz-invariant, simplement perquè separa el temps de les coordenades espacials com quelcom especial. A més, com recordeu de la Mecànica Lagrangiana, el Hamiltonià arriba al primer lloc realitzant una Transformació Legendre al Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

Que separa de nou específicament el temps d'espera com quelcom especial. A QFT, això no vol. Això ens remet al concepte de densitat lagrangiana, que fàcilment * es pot * fer de manera explícita a Lorentz-invariant. Per exemple, el QFT més simple possible és la teoria de camps lliures escalars i té la densitat lagrangiana següent:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

Com que els índexs coincideixen correctament, aquesta quantitat és clarament inalterada durant una transformació de Lorentz, de manera que tota la física derivada d'aquest punt també ho és. Aquesta és la raó principal per la qual s'ha d'utilitzar la densitat lagrangiana en lloc de la densitat hamiltoniana en QFT.

Cal assenyalar que * és * possible utilitzar una densitat hamiltoniana en QFT relativista, però és molt més complicat per la separació explícita de l'espai i el temps de l'Hamilton, per la qual cosa es descarta generalment a favor de la densitat lagrangiana.

EDIT: La meva resposta es va fusionar amb una altra pregunta: l’explicació de la pregunta original a la qual vaig respondre mencionava específicament l’ús de l’operador hamiltonià en la mecànica quàntica no relativista versus l’ús de la densitat lagrangiana en la física de partícules / teoria quàntica de camps quàntiques.