Hi ha una diferència conceptual real entre els números racionals i els irracionals o les diferències són un artefacte del nostre sistema de numeració?


Resposta 1:

La diferència conceptual entre ambdues és enorme. Els nombres racionals es defineixen purament algebraicament: comenceu amb l’anell d’enters (que és l’anell més petit en el qual hi ha un element d’ordre infinit, és a dir, el número 1) i preneu el seu camp de fraccions. Aquest és un procediment finit, purament algebraic. No calen conceptes d’anàlisi (com ara límits, convergència, etc.). Però, per definir nombres reals, hem de fer una anàlisi. Concretament, necessitem la noció de "mètrica" ​​en el camp dels nombres reals (que és una formalització matemàtica de la noció de distància) i la noció de "finalització d'un camp respecte a una mètrica". El conjunt de nombres reals es defineix com la finalització del camp de nombres racionals relatius a la mètrica estàndard (arximediana). Més concretament, és el conjunt de classes d'equivalència de les "seqüències Cauchy" de nombres racionals, en relació amb la mètrica estàndard (en realitat és un camp).

El conjunt de nombres racionals s'inclou naturalment en el conjunt de nombres reals: cada nombre racional x dóna lloc a una seqüència Cauchy constant (x, x, x, x, ...). El complement del conjunt de nombres racionals en el conjunt de nombres reals és el conjunt anomenat conjunt de nombres irracionals. Concretament, podem representar tots els nombres reals en forma decimal. Aquesta és només una manera particular de registrar una seqüència Cauchy d'aquest nombre (és a dir, la seqüència Cauchy corresponent a una representació decimal d'un nombre real és la seqüència dels seus primers n dígits, per a tots els n). Però el concepte de nombres reals (i, per tant, de nombres irracionals), no té res a veure amb una manera particular de representar els nombres. Per exemple, podríem utilitzar un formulari binari o qualsevol altra forma de “base k”. Això només és una qüestió de representació. El concepte de nombre real es defineix independentment de qualsevol representació particular.

Un cop fixada aquesta definició, queda clar quins són els números irracionals molt més sofisticats que els racionals. Els números racionals i irracionals NO són ​​dues cares de la mateixa moneda en cap sentit. Per exemple, el conjunt anterior és comptable, i el segon no (aquesta és la conclusió del famós argument en diagonal de Cantor). Els nombres racionals formen un camp (és un subcamp del camp de nombres reals), però els números irracionals no.

També vull esmentar que aquests dos conceptes tenen moltes contrapartides en matemàtiques. Podem començar amb qualsevol anell en lloc de l'anell de nombres enters; per exemple, l'anell dels nombres enters de Gauss (a + bi), on i és l'arrel quadrada de -1 i pren el seu camp de fraccions. Aleshores, podem introduir una mètrica en aquest camp i completar-la. En el cas dels nombres enters de Gauss, si prenem la mètrica estàndard (arximediana), obtenim com a finalització el camp de nombres complexos. Hi ha una generalització més: a més de la mètrica arximediana del camp dels nombres racionals (o del camp de fraccions d’un altre anell, com ara l’anell dels nombres enters de Gauss), hi ha altres mètriques. Per exemple, per al camp de nombres racionals, hi ha les anomenades mètriques p-adiques, per a cada nombre primer p. L'acabament del camp de nombres racionals respecte a la mètrica p-adica s'anomena camp de nombres p-adics. Aquests són tan interessants per estudiar com els camps dels nombres reals i complexos, i hi ha hagut moltes investigacions en aquest àmbit en els darrers 100 anys. Per tant, la vostra pregunta ens porta a algunes idees i construccions realment fascinants. (Per obtenir més informació, només Google els conceptes que he destacat anteriorment.)


Resposta 2:

Sí.

Tan aviat com els definiu, són molt diferents. Els nombres racionals són aquells nombres que es poden expressar com la proporció de dos nombres enters. Els nombres irracionals són els que no poden. Sol ser més fàcil de calcular i manipular un nombre racional arbitrari perquè tan bon punt sé que en tinc un, puc anotar-lo de manera addicional, multiplicació, resta i divisió. Els irracionals no es comporten tan bé.

El fet que tinguin inverses multiplicatives fa que siguin un camp. En el marc de les operacions esmentades, també queden tancades. Podeu multiplicar dos nombres irracionals i acabar amb un racional: els irracionals sagnen de manera que els racionals no ho fan.

A més, les seves infinituds senten (i, efectivament,) són molt diferents. Un és l’infinit comprensible, imaginable, gairebé visible dels nombres comptables i l’altre és la densitat incomprensible del continu.

Estic segur que n’hi ha més; el meu coneixement és limitat, però són els més evidents.


Resposta 3:

Sí.

Tan aviat com els definiu, són molt diferents. Els nombres racionals són aquells nombres que es poden expressar com la proporció de dos nombres enters. Els nombres irracionals són els que no poden. Sol ser més fàcil de calcular i manipular un nombre racional arbitrari perquè tan bon punt sé que en tinc un, puc anotar-lo de manera addicional, multiplicació, resta i divisió. Els irracionals no es comporten tan bé.

El fet que tinguin inverses multiplicatives fa que siguin un camp. En el marc de les operacions esmentades, també queden tancades. Podeu multiplicar dos nombres irracionals i acabar amb un racional: els irracionals sagnen de manera que els racionals no ho fan.

A més, les seves infinituds senten (i, efectivament,) són molt diferents. Un és l’infinit comprensible, imaginable, gairebé visible dels nombres comptables i l’altre és la densitat incomprensible del continu.

Estic segur que n’hi ha més; el meu coneixement és limitat, però són els més evidents.


Resposta 4:

Sí.

Tan aviat com els definiu, són molt diferents. Els nombres racionals són aquells nombres que es poden expressar com la proporció de dos nombres enters. Els nombres irracionals són els que no poden. Sol ser més fàcil de calcular i manipular un nombre racional arbitrari perquè tan bon punt sé que en tinc un, puc anotar-lo de manera addicional, multiplicació, resta i divisió. Els irracionals no es comporten tan bé.

El fet que tinguin inverses multiplicatives fa que siguin un camp. En el marc de les operacions esmentades, també queden tancades. Podeu multiplicar dos nombres irracionals i acabar amb un racional: els irracionals sagnen de manera que els racionals no ho fan.

A més, les seves infinituds senten (i, efectivament,) són molt diferents. Un és l’infinit comprensible, imaginable, gairebé visible dels nombres comptables i l’altre és la densitat incomprensible del continu.

Estic segur que n’hi ha més; el meu coneixement és limitat, però són els més evidents.