Com demostreu que la diferència entre un nombre senar i un nombre enter parell és parell?


Resposta 1:

Provem-ho per contradicció, és a dir, suposem que la diferència entre un nombre senar i un nombre senar és parell. Suposem un nombre senar de la forma 2m + 1, on m> 0. Ara prenguem un altre nombre enter 2n, n> 0. També suposem que l’enter parell és inferior a l’enter senar en qüestió. Així que 2m + 1 - 2n = 2k (diguem-ne). Resoldre l'eqn a LHS dóna:

2 (mn) + 1 = 2k. Ara el valor del LHS és net del formulari 2a + 1, on a = m - n, per tant LHS és un nombre senar mentre que RHS és un nombre parell. Així doncs, la nostra hipòtesi original és errònia. Així, es demostra que la diferència entre un nombre senar i un nombre parell és sempre imparell.


Resposta 2:

Agafeu un nombre enter a i un nombre senar b.

Podeu escriure a com a 2x, on x és un nombre enter, i b com a 2y, on y no és un nombre enter (per definició de parell).

Volem demostrar que el 2x-2y és estrany.

Continua per contradicció:

Suposem que el 2x-2y és parell.

=> 2 (xy) = c, un nombre enter parell

=> xy = c / 2, un nombre enter.

=> y = x + c / 2

=> y és un nombre enter

=> s'ha trobat una contradicció


Resposta 3:

Podem expressar el nombre sencer com

2x+12x+1

i igual que

2y2y

, on

xx

i

yy

són nombres enters. Aleshores, la diferència és

2x+12y=2(xy)+12x+1-2y = 2(x-y) + 1

. Com que la diferència no és divisible per 2, és estrany.

Alternativament, podem utilitzar aritmètica modular per demostrar-ho. Sigui el nombre sencer

mm

i el nombre enter uniforme

nn

. Aleshores,

m1mod2m \equiv 1 \bmod 2

i

n0mod2n \equiv 0 \bmod 2

. Per tant,

(mn)(10)mod21mod2(m-n) \equiv (1-0)\bmod 2 \equiv 1 \bmod 2

. Com que la diferència és congruent a 1 mod 2, és estrany.