Podríeu explicar la diferència entre equacions vectorials, equacions paramètriques i equacions cartesianes?


Resposta 1:

Faré servir l'equació d'un avió

R3\R^3

com un exemple.

L’equació més general d’un pla en forma cartesiana és

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Això és només una equació algebraica. Les equacions cartesianes són només polinomis multivariables (no al revés). Si analitzeu el conjunt de zeros d’aquesta equació i gràfiqueu aquests zeros

R3\R^3

, llavors aconseguiríeu un avió.

L’equació vectorial d’un pla és

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Aquesta és només una equació que inclou vectors. Aquí

v0\vec{v_0}

és un punt al pla i

v1\vec{v_1}

i

v2\vec{v_2}

són vectors de direcció (dos vectors linealment independents que es troben en el pla). La segona equació és només l’equació vectorial expandida en forma de matriu mitjançant les coordenades dels vectors respecte a la base estàndard de

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

L’equació paramètrica d’un pla és la següent

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Descriu cada coordenada en funció de dos paràmetres

ss

i

tt

.